jump to navigation

Dilema lui Monty Hall (sau cum sa castigi o masina) – rezolvare Septembrie 27, 2009

Posted by Marcelina Popa in Avansati, Clasa a VI-a, Cutia cu jucarii, Rezolvari.
Tags: ,
trackback

Reiau intai enuntul problemei (a fost postata prima data aici, fara rezolvare):

Eşti la un concurs. Prezentatorul, Monty Hall, îţi cere să alegi una dintre cele 3 uşi care se află în faţa ta. După una dintre ele se află o maşina, marele premiu, după celelalte două cate o capra de pluş.Tu alegi o uşă (oricare din cele 3) şi, înainte să ţi-o deschidă ca să vezi dacă ai cîştigat ori nu, Monty Hall spune: „Stai un pic, eu îţi fac un bine şi, din cele două uşi rămase, îţi mai deschid o uşă!” (el ştie dinainte ce se afla dupa fiecare usa).

180px-Monty_open_door.svg

Monty Hall deschide, asa cum a promis, o usa si constati ca in spatele ei se afla o capra.😈 Acum te mai întreabă inca o dată: „Vrei să rămai cu alegerea iniţială ori alegi cealaltă uşă?”.

Ce faci? Cum e mai bine sa procedezi?
a). Sa rămai la uşa aleasă iniţial.
b). Sa alegi cealaltă uşă.
c). Nu conteaza ce usa alegi, fiindca sansele de a gasi masina sunt egale.

Va avertizez ca acum urmeaza doua rezolvari, asa ca, daca vreti sa va mai ganditi, nu cititi ce scrie mai jos!

Sa notam cu J jucatorul, iar usile cu U1, U2, U3, usa indicata initial de J fiind U1.

Pe mine m-a contrariat la inceput comportamentul lui Monty: de ce nu deschide U1?
Raspunsul este: pentru ca vrea audienta. Si pentru ca audienta se obtine crescand tensiunea show-ului.
Din acelasi motiv, adica pentru a-si mai tine spectatorii pe jar, el deschide o usa necastigatoare (una dintre usile cu capra, nu cea cu masina).

Sa retinem deci ca actiunile lui Monty sunt guvernate de doua reguli:
(1) In mod sigur, Monty nu deschide usa U1 (indicata initial de J);
(2) In mod sigur, Monty deschide o usa in spatele careia se gaseste
o capra.

O rezolvare simpla, dar mai putin riguroasa, e urmatoarea: sa presupunem ca, dupa ce J indica U1, Monty deschide U3. Decizia lui de a deschide aceasta usa este influentata de faptul ca el stie care este usa cu masina. Cum este influentata rezulta din regulile (1) si (2) din mesajul meu de mai sus:

– daca masina se afla in spatele usii 1, Monty poate alege oricare dintre usile 2 si 3, deci prob. ca el sa aleaga usa 3 este = 1/2;
– daca masina se afla in spatele usii 2, Monty nu poate alege decat usa 3, deci probabilitatea ca el sa aleaga usa 3 este = 1.

Prin urmare, probabilitatea ca Monty sa fi ales usa 3 din cauza ca masina se afla in spatele usii 2 este de doua ori mai mare decat probabilitatea ca el sa fi ales aceasta usa din cauza ca masina se afla in spatele usii 1.

Intrucat Monty a ales usa 3, rezulta ca e de doua ori mai probabil ca masina sa se gaseasca in spatele usii 2 decat in spatele usii 1.

In concluzie, cea mai inteleapta decizie a lui J ar fi sa renunte la alegerea initiala si sa ceara deschiderea usii 2.

Iata acum si o rezolvare riguroasa, la nivelul clasei a X-a:

Notam: Ak = evenimentul „Masina se afla in spatele usii k”, pt. orice k=1,3.
Probabilitatile a priori ale acestor 3 evenimente sunt egale toate cu 1/3: P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3.

Notam cu B evenimentul „Monty deschide U3”.

Avem de calculat probabilitatile lui A1 si A2 in ipoteza ca B deja s-a realizat (probabilitate a posteriori). Astea se noteaza cu P(A1/B), respectiv P(A2/B).

Avem nevoie pe parcurs de:
P(B/A1)= probabilitatea de a se realiza B in ipoteza ca am sti ca s-a realizat A1, adica probabilitatea ca Monty sa fi deschis U3 daca masina se afla in spatele usii U1; asta este = cu 1/2 (vezi ce-am scris la inceput despre cum actioneaza Monty in scopul maririi audientei, mai exact regula (1) ).
P(B/A2)= probabilitatea de a se realiza B in ipoteza ca am sti ca s-a realizat A2, adica probabilitatea ca Monty sa fi deschis U3, daca masina se afla in spatele usii U2; asta este = cu 1 (vezi regulile (1) si (2) ).
P(B/A3)= probabilitatea de a se realiza B in ipoteza ca am sti ca s-a realizat A3, adica prob. ca Monty sa fi deschis U3 daca masina se afla in spatele usii U3; asta este = 0 (vezi regula (2) ).

Exista o formula care zice asa:
(3) P(E/F)·P(F)=P(F/E)·P(E), pt. oricare doua evenimente E si F (e formula lui Bayes, de fapt, scrisa putin altfel, ca sa evit fractia aia mare; vezi http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem ).

Obtinem atunci:

P(A1/B)·P(B)=P(A1)·P(B/A1), adica
P(A1/B)·1/2=1/3·1/2, deci

P(A1/B)=1/3 .

Tot din (3) obtinem:

P(A2/B)·P(B)=P(A2)·P(B/A2), adica
P(A2/B)·1/2=1/3·1, deci

P(A2/B)=2/3

Din ultimele doua relatii colorate rezulta ca este de doua ori mai mare probabilitatea ca masina sa fie in spatele usii U2 decat in spatele usii U1.

Comentarii»

No comments yet — be the first.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: